动手学数学讨论与解答（41—45）

基础知识

动手学数学讨论与解答（31—35）31．推销员的旅程问题


　　这类问题非常值得讨论，因为它们与实际生活密切相关．虽说问题本身很简明，但令人困惑的是，至今没有得出任何解析解．


　　李文黛的最短路径为91英里，她的行程如下所示：



　　如果把汉尼顿列入行程中，则最短行程为：艾克塞特→欧卡汉顿→克雷顿→提文顿→卡林顿→汉尼顿→艾克茅兹→艾克塞特，总里程数为100英里．

　　因为最短行程的各路线彼此不相交错，故其行程为一简单封闭曲线，所以不论以哪一个城镇作为起点及终点，其里程数均相等．但是如果起点和终点可以在不同的城镇，那么只要将整个行程颠倒过来(依原行程反向而行)，以艾克塞特为起点，欧卡汉顿为终点，则可节省23英里的路程．




　


　　找到走完“十岩”的最短路径是相当有趣的问题．作者相信上图所示的路径为最短路径，但读者也可提出反驳(注意：高度的变化、横越河流与地势的差异都是健行者考虑的因素)．最短的路径为16.6英里．

　　在寻找最短路径时，需要了解如果从A到B的路径由A、B两点的直线改为经过中间点P，可能会使路程增加．如果∠APB不比180°小很多，则几乎可以忽略增加的路程；但当∠APB为锐角时，则路程将会显著增加．参考上列的路线图，并比较由克兰密尔池经荒野岩到悬石岩，以及由毛皮岩经野兔岩到布雷克岩这两小段路径因为经过中间点而增加的里程．


　　33．寻找宝藏

　　将坐标变换与寻宝图结合，使这个数学问题变得更加有趣了．在解决了几个问题之后，你可以试着自己设计藏宝图与线索．


　　此题的宝藏位在(7，3)，每一条线索所指示的地点为：

　　(1)→(1，3) (2)→(4，3) (3)→(4，7) (4)→(6，7)

　　(5)→(8，5) (6)→(5，8) (7)→(11，7)(8)→(7，3)


　　34．平行线的限制

　　此题并不需要使用三角学的知识去计算三角形的大小．


　　先在直线l上任取一点A点，然后用描图纸和一个量角器将3条平行线l、m、n自定点A逆时针旋转60°，而得出l＇、m＇、n＇这3条平行线(图1)．

　　这个旋转将自动地映射三角形的AC边，而作出AB边的图(参见第69页的图形)．换言之，C映成B，所以经过C点的直线n将映成经过B点的直线，所以B点为直线n＇与m的交点．在找到AB边之后，很容易完成等边三角形ABC．以A点为中心，依顺时针方向旋转60°，则可找出C点就是直线m＇与n的交点．

　　要作出顶点分别落在平行四边形的4条边上的正方形也可以利用旋转来处理．这个问题可以利用90°旋转来解．





　　在图2中的平行四边形PQRS内有一个正方形ABCD，图3显示出PQRS对其中心旋转90°后的情形．这时正方形的4个顶点可由下列直线的交集清楚地定义出来：

　　A＝PQ∩S＇P＇，B＝QR∩P＇Q＇

　　C＝RS∩Q＇R＇，D＝SP∩R＇S＇

　　使用描图纸来辅助P＇Q＇R＇S＇的绘图，可直接作出正方形ABCD的图形．

　　图4显示出正方形的两个顶点落在平行四边形之外的情形，这个问题是要你找出顶点落在两对相交的平行线上的正方形．




　

　　35．盒子游戏

　　许多孩子都很喜欢玩这个游戏，教师们不妨把它作为指派给学生的第一份研究作业．“假设…，会怎么样？”这类问题对孩子而言应不至于太困难，他们可以借此课题做一些简单的分析练习．

基础知识

动手学数学讨论与解答（36—436．自行车的齿轮


　　研究显示，齿轮比与比例因子对儿童而言算是相当难理解的概念，可以从实用的角度来着手，尽量激发儿童应用数学的兴趣．

　　巴特勒自行车的齿轮比如下表所示：



　

　　女式自行车的齿轮比依序为：




　　链条在大齿盘间做过5次转换(如箭头处所示)．男式自行车则需要做7次转换：




　　加装了后轴变速系统的自行车，其齿轮比如下表所示：



　　拥有4个链轮的飞轮之轴齿轮比逼近于有27、23、18与14齿的FW轮轴的后轴变速系统．




　


　　同时具有两种变速系统的自行车，理论上会有50种可能的齿轮比，调速范围更大．


　　你可以自己走一趟自行车商店，试着去收集各种不同自行车的资料．

　　37．透视立体图形


　　作者于多年前在一堂艺术课中发掘出此类问题，并认为其结构、概念也适用于数学课程，它可以刺激对三维空间(立体)的想象力，且协助孩子将三维空间的物体以二维空间(平面)的图形呈现出来．


　　最初可从铁丝衣架等具体的实物着手，而聪明一点的孩子则可运用想象力构筑出不同的结构．

　　38．回文数的终点


　　有许多二位数具有此性质．设十位数字为a，个位数字为b，将二位数记为ab．只要a＋b≤9，就可得到回文数．例如：

　　25+52＝77，32+23＝55，18+81＝99

　　任何二位数cd，只要c＋d＝11，均可推得121．例如：

　　29+92＝121，47+74＝121，56+65＝121


　　39．反转

　　利用试误法可找到许多解答，但要彻底了解此问题，则需要分析一下．

　　我们先考虑下列的乘法：




　　因为乘积是五位数，g≤9、k≤9，而且在每一位数并不牵涉到进位的问题，所以对每一位数字(g、h、i、j、k)而言，下列式子为必要条件：

　　ad≤9

　　ae+bd≤9

　　af＋be＋cd≤9

　　bf＋ce≤9

　　cf≤9

　　这意味着如果a＝2，则d、e、f≤4，所以满足条件的大部分解，其每一位数的数字将很小．但是大数字的解也可能存在，例如：

891×101＝89991

198×101＝19998


　　另外还有一些解答为：


　　123×101＝12423 123×102＝12546 100×900＝90000

　　321×101＝32421 321×201＝64521 001×009＝00009


　　40．循环

　　这是一个相当有趣的题目，而且对各种程度的人都适用．对基础程度者而言，只要会做除法的计算即可．但要找出本题要求的形式，却需要做许多的假设和试验．




　　当除以2时，不论起始数字是多少，都会出现相同顺序(从环状来看)的18个数字．



　　当除以3时，要得出类似的形式，则必须是一个28位数字的循环序列，如下所示：



　　上述这些环状的长度与数字序列使人联想到循环小数(参见《数学乐园·茅塞顿开》第126题)．用计算器做一连串的试验之后，你将发现，除以2、3和4得到的循环序列，会分别与除以19、29与39所得到的循环序列相同．但我们如何找出其间的关系呢？


　　可考虑





　　如果在一个循环之后接着重复写上几个循环，并在1的后面加上一个小数点，则除式变成：



　　设

　　x＝0.025641025641…

　　则除式可写为下列形式：



　　故

　　40x＝1+x

　　

　　显然地，类似的论证可应用至所有的除法中，并可表示出其与循环小数的关系．
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