61．功能受限的计算器

基础知识

61．功能受限的计算器　　要找到xy，必须有3个主要的步骤．
　　步骤1：
　　由下列式子算出一已知数x的平方：
　　
　　取其倒数得出：

　　x2+x
　　再减去x，便得到x2．
　　步骤2：
　　因步骤1可求出已知数的平方，再由

(x＋y)2－x2－y2=2xy

　　便可求出2xy．
　　步骤3：
　　利用倒数的功能键求得xy的形式：
　　

　

　　再取倒数便求出xy．
　　已知两数的乘法可由上列的步骤求得．值得注意的是，若想求出两数的除法，只要利用x×1/y便可完成．
　　62．软式网球赛

　　双方的比分为9∶5、0∶9、10∶9与9∶5．
　　要做此题，需要先熟悉软式网球赛的计分规则，并且了解此题唯一可能出现的完全数为28．
　　63．填空

　　(1)28 (2)2310 (3)24，30
　　该已知数列为由质数构成的数列：

　　2，3，5，7，11，13，17，…
　　而构成(1)、(2)、(3)3数列中第n项的规则分别为：
　　(1)前n个质数的和．
　　(2)前n个质数的积．
　　(3)第n个质数与第(n＋1)个质数的和．
　　64．乘法方块

　

　　要做出第二种乘法长方块，最少需要先给定m＋n－1个已知的乘积，才可能求出m×n的乘法长方块的解．例如4×4的乘法方块，需要给出4＋4－1＝7个已知的乘积，以定义出一个唯一的乘法方块．
　　再举个例子，要定义7×5的乘法长方块，需要提供11个已知的乘积．
　　65．加强数线概念
　　作者认为大部分孩子对数线的概念都不太明确，而本题的宗旨是希望能提供给孩于一个数线的印象．当滑尺被广泛采用时，许多老师也使用它们来辅助加法教学，但由于计算器的普及，现在却很少使用了，实在相当可惜．事实上这能使学生对数字的运算以及数系的结构有更深的洞察力．
　　66．汽车雨刷

　

　　假设AB的长度为L，PQ的长度为2d，且AB扫过的角度为θ．
　　
　　AQ＝R＝L＋d与AP＝r＝L－d之间的环形面积，故一般汽车雨刷扫过的面积为：
　　
　　(2)对卡车的雨刷而言，所扫过的形状并非环形．其扫出形状的垂直长度恒为2d，可将此形状裁成面积为2d×l的长方形，其中l为雨刷片PQ移动的水平距离．
　　如果AB扫过的角度由α到α＋θ，如图所示，则
　　l＝L[cosα＋cos(180°－α－θ)]
　　故所扫过的面积为：

　　2dL[cosα＋cos(180°－α－θ)]
　　显然，面积会随参数α与θ变化，而汽车雨刷只与参数θ有关．

　　如果α＝30°，且θ＝90°，则
　　(1)汽车雨刷所扫过的面积为πLd．
　　(2)卡车雨刷所扫过的面积为2Ld(cos30°＋cos60°)≈2.73Ld＜πLd．
　　在《数学乐园·茅塞顿开》第51题中讨论过使用卡车雨刷的好处．
　　67．相交圆

　　环面(torus)具有此性质．

基础知识

56．设计图

　　一组可能的解如图1所示，其中AB为直线，但为曲线亦可．


　　三维物体的平面图和正面图不胜枚举，复杂的与简单的都有．年纪很小的孩子就可以开始接触这类问题．


　　图2为某物体的平面图和正面图，其侧面图应该是怎样的？




　　57．思考时间


　　(1)在此易犯的常见错误是认为时针仍指在3点的位置．

　　分针每分钟转6°，所以在3点12分，分针转了12×6°＝72°．而12分钟是1小时的1/5，故时针在3至4点所夹角度(30°)间转动了1/5，即6°．所以时针和分针所夹的角度为18°＋6°＝24°．

　　(2)设时针自7点走到交会处的角度为θ，那么分针在相同的时间内所旋转的角度则为210°＋θ，故


　　


　　6°相当于1分钟的时间，故19.091°取到秒的近似值为3分11秒，所以此题的答案为7点38分11秒．


　　58．“大富翁”游戏中的概率问题

　　在“大富翁”游戏中蕴含着许多有趣的数学知识，而且很多小孩都很喜欢玩．作者发现用“大富翁”游戏作例子教有关概率的知识，效果非常好，甚至比用一般的掷骰子游戏更佳．

　　大部分的小孩似乎并不知道，用两个骰子掷出不同点数的概率并不相同，这使“大富翁”游戏更多变、有趣．如果你对“大富翁”游戏纸上的位置名称相当熟悉会有所助益，而对这一点数学老师可能就非常陌生，远不及你呢！

　　59．自行车越野赛



　

　　本题的最佳解如上图所示．


　　tAB＝tAP＋tPB

　　


　　利用试误法并以计算器或电脑协助计算可能是最好的方法．要得到理论解需先算出最快路径：





　　这类证明属高级数学课程的范围，要使用微积分知识，求出P点位置的方程式是一个四次式．

　　60．任性的计算器

　　此解与下列恒等式有关：

　　(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2

　　移项可得：

　　2xy＝(x＋y)2－x2－y2 (1)

　　因此xy只要用心算就可算出．

　　这个计算器还可求出某数除以2的值，利用等式

　　

　

　　得出：


　　　　


　　故若已知两个数x与y，利用等式(1)能求出2xy，然后再利用等式(2)推演出xy．