小学数学知识问答300例—乘法的速算方法

基础知识

100.乘法的速算方法有哪些？　　乘法的速算方法主要有以下几种：
　　（1）乘数是5的速算法。遇到一个数乘以5的时候，可以先乘以10，然后再除以2，就是所求的结果。也就是“先用10乘再折半”。
　　例1 计算736×5=？
　　解：736×5=736×10÷2
　　=7360÷2
　　=3680
　　例2 计算945×5=？
　　解：945×5=945×10÷2
　　＝9450÷2
　　=4725
　　（2）两位数乘以99的速算法。一个两位数乘以99的时候，可以用这个数乘以100，再从积里减去这个两位数的1倍。
　　一个数乘以100，只要在这个数的末尾添上两个0，就可以了。
　　例1 计算 86×99=？
　　解：86×99=86×100-86
　　=8600-86
　　=8514
　　例2 计算 95×99
　　解：95×99=95×100-95
　　＝9500-95
　　=9405
　　两位数乘以99的速算法还可以用一句口诀求出结果。这句口诀是：“去1添补”。去1，就是从原来的两位数里减去1，作为所求结果的千位和百位上的数；添补，就是求出所求原来两位数对于100的补数，作为所求结果的十位和个位上的数。
　　例3 计算78×99=？

基础知识

99.减法的速算方法有哪些？

　　减法的速算方法主要有以下几种：

　　（1）分组法。计算连减法时，可以根据减法运算性质把各个减数加起来，再从被减数里减去各个减数的和。

　　例 计算 640-77-83-65-55=？

　　解：640-77-83-65-55

　　=640-（77＋83＋65＋55）

　　=640-280

　　=360

　　（2）把多减的数再加回来。遇到某些减数接近整千、整百时，就先按照整千、整百去减，然后再把多减了的数加回来，这样，可以使运算简便。

　　例1 计算 938-796=？

　　解：938-796=938-800＋4

　　=138+4

　　=142

　　例2 计算 763-297=？

　　解： 763-297=763-300＋3

　　=463＋3

　　=466

基础知识

　98.加法的速算方法有哪些？

　　加法的速算方法主要有以下几种：

　　（1）分组凑整法。根据加法交换律、加法结合律，把加数适当交换位置并分组结合，使运算简便。

　　例1 计算46＋39＋85＋61＋15＋54=？

　　解：46＋39＋85＋61＋15＋54

　　=（46＋54）＋（39＋61）+（85＋15）

　　=100＋100＋100

　　=300

　　例2 计算73＋92＋41＋87＋69＋58=？

　　解：73＋92＋41＋87＋69＋58

　　=（73＋87）＋（92＋58）＋（41＋69）

　　=160＋150＋110

　　=420

　　（2）基准数加法。遇到几个比较接近的数相加时，可以从这些数中间选择一个数作为计算的基础，这个数可以叫做“基准数”。计算的时候，找出每个数与基准数的差。大于基准数的部分作为加数，小于基准数的部分作为减数，并且把这些“差”累计起来。再加上基准数与项数的积，就是所求的结果。

　　例计算72＋75＋70＋67＋69＋74＋68＋73=？

　　解：72＋75＋70＋67＋69＋74＋68＋73

　　=70×8+（2+5-3-1＋4-2+3）

　　=560＋8

　　=568

　　（3）把多加的数再减掉。遇到某些加数接近整千、整百时，就先按照整千、整百去加，然后再把多加的数减掉，这样，也可以使运算简便。

　　例1 计算683＋994=？

　　解： 683＋994=683＋1000-6

　　=1683-6

　　=1677

　　例 2 计算 846＋798=？

　　解：846＋798=846＋800-2

　　=1646-2

　　=1644

基础知识

97.什么叫做速算？

　　对于数的加、减、乘、除运算，可以根据某些数的特点并利用数与数的特殊关系以及运算定律、运算性质，使一些较繁的算法简便化。这种方法叫做速算。

基础知识

　96.小高斯为什么算得这样快？　高斯（1777～1855），德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一。他小的时候，家境贫寒，住在农村。不过高斯从小刻苦学习，爱动脑筋。8岁那年，他正上初级小学，有一次，老师给全班同学出了一个算术题，题目是：求1加2加3加4，……，一直加到100的和，就是：

　　1＋2+3+4＋……＋100=？

　　老师出完题不久，高斯很快得出结果是“5050”。为什么高斯算得这么快呢？当老师问他时，他从容地回答，我是这样想的：

　　1＋2+3＋……＋100

　　与

　　100＋99＋98＋……＋1

　　相应的每两项之和都等于101，就是：1+100=101，2＋99=101，3＋98=101，……，因此两个式子相加恰好有100个101，100个101是10100，再取它的一半，恰好是5050。所以：

　　1＋2＋3+……+100=5050

　　同学们可以试试看，如果一个一个地加，得用多长时间才能得出结果来呢！可是小高斯没有这样算，而是想出了这样一个极为巧妙的办法，可以说是不费吹灰之力就算出来了。

　　现在中学数学中“数列求和公式”就是用这样的思想得出来的。但那是古代数学家经过长期的努力和积累才得出的结果。

基础知识

小学数学知识问答300例—为什么95.为什么要规定“先乘除后加减”？

　　对于这个问题，我们分两层来谈。第一层先谈谈规定运算顺序的必要性，第二层再谈谈为什么要规定“先乘除后加减”。

　　（1）规定运算顺序的必要性。先举两个例子予以说明。

　　例1 小勇买了一块橡皮，价18分，又买了3支铅笔，每支12分，一共多少钱？

　　综合算式18＋12×3

　　=18＋36

　　=54（分）=5角4分

　　根据题意，这道题先算乘法后算加法是合情合理的。

　　例2 小春有18分钱，小敏有12分钱，小冬的钱数是他们俩人钱数之和的3倍，问小冬有多少钱？

　　解答这道题的时候应该先求出小春与小敏两人钱数之和，即求出（18＋12=）30分，然后再求出30分的3倍，即（30×3=）90分。得出小冬有钱90分。这样的解答层次，也就是说先算加法，后算乘法是符合题意的，是合情合理的。使我们看出，在日常生活中需要先算乘法的与需要先算加法的事例都不少。如果永远用分步式计算的话就不必规定运算顺序了。只因为列出综合式，就得规定出前后的顺序。

　　（2）为什么要规定先乘除而后加减呢？应该从法则的定义说起，乘法是相同数连加的简便算法，除法是乘法的逆运算，除法也可以看作是相同数的连减。就以加法和乘法来说吧：每盒乒乓球6个，王小通买了1盒，张大力买了4盒，他们俩人共买乒乓球多少个？我们可以列出如下的算式：

　　6＋6×4.

　　由于乘法的定义是相同数的连加，如果我们把乘法再返回加法的话，那么上面的式子应改写为：



　　假如不怕麻烦的话，可以按照6＋6＋6＋6＋6来计算，一个一个地加，得出30个乒乓球。

　　再引申一步说明，乘方是相同数的连乘，它的定义是：n个a相乘的积，叫做a的n次乘方。我们也\\规定了在一个算式里，有第二级运算也有第三级运算的时候，应该先算第三级运算，后算第二级运算。总之，运算顺序是由于法则本身的形成及法则之间的关系而规定的，正因为由第一级运算发展到第二级运算，由第二级运算发展到第三级运算，所以运算顺序规定为：先三级，再二级，后一级。
先乘除后加减

基础知识

小学数学知识问答300例—四94.四则混合运算顺序是怎样规定的？

　　在四则混合运算中，运算顺序规定如下：

　　（1）在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，则应按照从左到右的顺序进行计算。例如：

　　① 98-73＋54-26=25＋54-26

　　=79-26

　　=53

　　②48×15÷36×13=720÷36×13

　　=20×13

　　=260

　　（2）在一个没有括号的算式里，如果既含有第一级运算，又含有第二级运算，则应先算第二级运算，后算第一级运算。也就是“先算乘或除，后算加或减”，简称“先乘除，后加减”。

　　例如：

　　① 75+35×2-165÷3=75＋70-55

　　=145-55

　　=90

　　②210÷7-18＋14×4=30-18＋56

　　=12+56

　　=68

　　（3）在一个有括号的算式里，应先做括号内的运算。运算顺序是先算小括号里的算式，再算中括号里的算式，最后算大括号里的算式。

　　例如：

　　96÷{16×[（42÷3＋8×5）÷9-4]}

　　=96÷{16×[（14＋40）÷9-4]}

　　=96÷{16×[54÷9-4]}

　　=96÷{16×2}

　　＝96÷32

　　=3
则混合运算顺序

基础知识

小学数学知识问答300例—三级运算93.什么叫做第一级、第二级、第三级运算？

　　在数的运算中，加法与减法称为第一级运算；乘法与除法称为第二级运算；乘方与开方称为第三级运算。

基础知识

小学数学知识问答300例—有余数除法92.你知道有余数除法怎样验算吗？

　　我们先谈谈什么是有余数的除法。一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商。例如，32除以5，得不到一个整数商，而只能得到一个不完全商（6）和一个余数（2）。

　　一般地，被除数=除数×不完全商+余数。

　　有余数除法的定义是：已知整数a与自然数b，要求两个整数q与r，使a=b×q＋r，并且0＜r＜b，这种运算叫做有余数的除法，也叫做带余数除法。写作：a÷b=q（余r）或a÷b=q……r，读作“a除以b等于q余r”。a叫做被除数，b叫做除数，q叫做不完全商（也可以简称商），r叫做余数。例如：45=7×6＋3，且3＜7，所以45÷7=6（余3）或者45÷7=6……3，其中6是不完全商，3是余数。

　　当a＜b的时候，则q=0，r=a。例如：5=0×7＋5，所以，5÷7=0（余 5）。

　　在a=b×q＋r中，如果r=0，那么a=b×q，这时有a÷b=q。这就是说，能整除的除法是有余数除法的特殊情况。

　　下面谈谈有余数除法的验算。根据有余数除法的定义可知：

　　如果 a÷b=q（余r）

　　那么（1）a=bq+r；

　　（2） b=（a-r）÷q；

　　（3）q=（a-r）÷b；

　　（4）r=a-bq。

　　由此可见，在有余数的除法中，被除数等于除数乘以商再加上余数；除数等于被除数减去余数再除以商；余数等于被除数减去除数与商的积。

　　根据上述关系，可对有余数的除法进行验算。例如，根据a=bq+r来验算的方法是：在做完有余数的除法之后，可把所得的商与除数相乘再加上余数。如果计算是正确的，求出的结果应该等于被除数。

　　例如：32÷5=6……2

　　验算：5×6＋2=32。

　　此外，还可以根据b=（a-r）÷q、q=（a-r）÷b以及r=a-bq这几种关系进行验算。
的验算方法

基础知识

小学数学知识问答300例—有余数除法92.你知道有余数除法怎样验算吗？

　　我们先谈谈什么是有余数的除法。一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商。例如，32除以5，得不到一个整数商，而只能得到一个不完全商（6）和一个余数（2）。

　　一般地，被除数=除数×不完全商+余数。

　　有余数除法的定义是：已知整数a与自然数b，要求两个整数q与r，使a=b×q＋r，并且0＜r＜b，这种运算叫做有余数的除法，也叫做带余数除法。写作：a÷b=q（余r）或a÷b=q……r，读作“a除以b等于q余r”。a叫做被除数，b叫做除数，q叫做不完全商（也可以简称商），r叫做余数。例如：45=7×6＋3，且3＜7，所以45÷7=6（余3）或者45÷7=6……3，其中6是不完全商，3是余数。

　　当a＜b的时候，则q=0，r=a。例如：5=0×7＋5，所以，5÷7=0（余 5）。

　　在a=b×q＋r中，如果r=0，那么a=b×q，这时有a÷b=q。这就是说，能整除的除法是有余数除法的特殊情况。

　　下面谈谈有余数除法的验算。根据有余数除法的定义可知：

　　如果 a÷b=q（余r）

　　那么（1）a=bq+r；

　　（2） b=（a-r）÷q；

　　（3）q=（a-r）÷b；

　　（4）r=a-bq。

　　由此可见，在有余数的除法中，被除数等于除数乘以商再加上余数；除数等于被除数减去余数再除以商；余数等于被除数减去除数与商的积。

　　根据上述关系，可对有余数的除法进行验算。例如，根据a=bq+r来验算的方法是：在做完有余数的除法之后，可把所得的商与除数相乘再加上余数。如果计算是正确的，求出的结果应该等于被除数。

　　例如：32÷5=6……2

　　验算：5×6＋2=32。

　　此外，还可以根据b=（a-r）÷q、q=（a-r）÷b以及r=a-bq这几种关系进行验算。
的验算方法