动手学数学讨论与解答（41—45）

基础知识

41．透视正二十面体　　富勒的作品并不容易读，但其中有一本《协同论》(Synergetics)体现了他的思维方式，可能较容易懂．富勒制作的模型非常简洁有力，其结构中的材料都经过设计缩减，其中有些作品会令人想起早期的飞机模型．
　　42．苏拉卡塔棋

　　作者曾在爪哇岛看过有人玩此游戏，但并没有特别去记它，直到看了贝尔(R．C．Bell)所著的The Boardgame Book时，才重温了这个游戏．这本书有许多非常精美的插图，收录并描述了世界各地的80多个游戏．
　　43．追踪路径

　

　　B移动的方向是朝A加90°(即逆时针转90°)的方向，且移动距离皆为A的两倍．所以假设当A点移至C点，则B的移动方向为BC，参见图示，其中∠ACB＝90°，且BC＝2AC．
　　你可试着用电脑写出这道题的程序．
　　44．协助石块制造商

　　石块的规格(取近似值到小数点后第一位)为15.9cm×12.6cm×10.0cm．
　　假设石块的尺寸为a×b×c，其中a＞b＞c．
　　在切割后，原石块最小的面对应于半个石块(最短边为a/2)的顶面．故
　　a∶b∶c＝b∶c∶a/2
　　
　　可得ac＝b2与ab=2c2．
　　将这两式联立，得到

　　b3＝2c3
　　故
　　
　　得

　　a∶b∶c＝22/3∶21/3∶1
　　由此可观察到原石块(以及切开后的半个石块)的每一个长方形面的边长比皆为21/3∶1，约等于1.26∶1．
　　既然半个石块与原石块的形状相似，故再将之分成一半，又可造出同样形状的石块．以此类推，可得出一系列的相似形．
　　45．拼出正方形

　　此游戏为莫斯科的高中数学教师柯邓斯基(Boris Kordemsky)所发明，可参考其所著的《莫斯科谜题》(The Moscow Puzzles)一书．
　　图1显示了拼出4个正方形的一种方式．

　

　　组成2×2正方形的方法多得令人惊讶，例如使用到形状E的就有下列8种可行的解(见图2)．

基础知识

动手学数学讨论与解答（36—436．自行车的齿轮


　　研究显示，齿轮比与比例因子对儿童而言算是相当难理解的概念，可以从实用的角度来着手，尽量激发儿童应用数学的兴趣．

　　巴特勒自行车的齿轮比如下表所示：



　

　　女式自行车的齿轮比依序为：




　　链条在大齿盘间做过5次转换(如箭头处所示)．男式自行车则需要做7次转换：




　　加装了后轴变速系统的自行车，其齿轮比如下表所示：



　　拥有4个链轮的飞轮之轴齿轮比逼近于有27、23、18与14齿的FW轮轴的后轴变速系统．




　


　　同时具有两种变速系统的自行车，理论上会有50种可能的齿轮比，调速范围更大．


　　你可以自己走一趟自行车商店，试着去收集各种不同自行车的资料．

　　37．透视立体图形


　　作者于多年前在一堂艺术课中发掘出此类问题，并认为其结构、概念也适用于数学课程，它可以刺激对三维空间(立体)的想象力，且协助孩子将三维空间的物体以二维空间(平面)的图形呈现出来．


　　最初可从铁丝衣架等具体的实物着手，而聪明一点的孩子则可运用想象力构筑出不同的结构．

　　38．回文数的终点


　　有许多二位数具有此性质．设十位数字为a，个位数字为b，将二位数记为ab．只要a＋b≤9，就可得到回文数．例如：

　　25+52＝77，32+23＝55，18+81＝99

　　任何二位数cd，只要c＋d＝11，均可推得121．例如：

　　29+92＝121，47+74＝121，56+65＝121


　　39．反转

　　利用试误法可找到许多解答，但要彻底了解此问题，则需要分析一下．

　　我们先考虑下列的乘法：




　　因为乘积是五位数，g≤9、k≤9，而且在每一位数并不牵涉到进位的问题，所以对每一位数字(g、h、i、j、k)而言，下列式子为必要条件：

　　ad≤9

　　ae+bd≤9

　　af＋be＋cd≤9

　　bf＋ce≤9

　　cf≤9

　　这意味着如果a＝2，则d、e、f≤4，所以满足条件的大部分解，其每一位数的数字将很小．但是大数字的解也可能存在，例如：

891×101＝89991

198×101＝19998


　　另外还有一些解答为：


　　123×101＝12423 123×102＝12546 100×900＝90000

　　321×101＝32421 321×201＝64521 001×009＝00009


　　40．循环

　　这是一个相当有趣的题目，而且对各种程度的人都适用．对基础程度者而言，只要会做除法的计算即可．但要找出本题要求的形式，却需要做许多的假设和试验．




　　当除以2时，不论起始数字是多少，都会出现相同顺序(从环状来看)的18个数字．



　　当除以3时，要得出类似的形式，则必须是一个28位数字的循环序列，如下所示：



　　上述这些环状的长度与数字序列使人联想到循环小数(参见《数学乐园·茅塞顿开》第126题)．用计算器做一连串的试验之后，你将发现，除以2、3和4得到的循环序列，会分别与除以19、29与39所得到的循环序列相同．但我们如何找出其间的关系呢？


　　可考虑





　　如果在一个循环之后接着重复写上几个循环，并在1的后面加上一个小数点，则除式变成：



　　设

　　x＝0.025641025641…

　　则除式可写为下列形式：



　　故

　　40x＝1+x

　　

　　显然地，类似的论证可应用至所有的除法中，并可表示出其与循环小数的关系．
0）

基础知识

动手学数学讨论与解答（31—35）31．推销员的旅程问题


　　这类问题非常值得讨论，因为它们与实际生活密切相关．虽说问题本身很简明，但令人困惑的是，至今没有得出任何解析解．


　　李文黛的最短路径为91英里，她的行程如下所示：



　　如果把汉尼顿列入行程中，则最短行程为：艾克塞特→欧卡汉顿→克雷顿→提文顿→卡林顿→汉尼顿→艾克茅兹→艾克塞特，总里程数为100英里．

　　因为最短行程的各路线彼此不相交错，故其行程为一简单封闭曲线，所以不论以哪一个城镇作为起点及终点，其里程数均相等．但是如果起点和终点可以在不同的城镇，那么只要将整个行程颠倒过来(依原行程反向而行)，以艾克塞特为起点，欧卡汉顿为终点，则可节省23英里的路程．




　


　　找到走完“十岩”的最短路径是相当有趣的问题．作者相信上图所示的路径为最短路径，但读者也可提出反驳(注意：高度的变化、横越河流与地势的差异都是健行者考虑的因素)．最短的路径为16.6英里．

　　在寻找最短路径时，需要了解如果从A到B的路径由A、B两点的直线改为经过中间点P，可能会使路程增加．如果∠APB不比180°小很多，则几乎可以忽略增加的路程；但当∠APB为锐角时，则路程将会显著增加．参考上列的路线图，并比较由克兰密尔池经荒野岩到悬石岩，以及由毛皮岩经野兔岩到布雷克岩这两小段路径因为经过中间点而增加的里程．


　　33．寻找宝藏

　　将坐标变换与寻宝图结合，使这个数学问题变得更加有趣了．在解决了几个问题之后，你可以试着自己设计藏宝图与线索．


　　此题的宝藏位在(7，3)，每一条线索所指示的地点为：

　　(1)→(1，3) (2)→(4，3) (3)→(4，7) (4)→(6，7)

　　(5)→(8，5) (6)→(5，8) (7)→(11，7)(8)→(7，3)


　　34．平行线的限制

　　此题并不需要使用三角学的知识去计算三角形的大小．


　　先在直线l上任取一点A点，然后用描图纸和一个量角器将3条平行线l、m、n自定点A逆时针旋转60°，而得出l＇、m＇、n＇这3条平行线(图1)．

　　这个旋转将自动地映射三角形的AC边，而作出AB边的图(参见第69页的图形)．换言之，C映成B，所以经过C点的直线n将映成经过B点的直线，所以B点为直线n＇与m的交点．在找到AB边之后，很容易完成等边三角形ABC．以A点为中心，依顺时针方向旋转60°，则可找出C点就是直线m＇与n的交点．

　　要作出顶点分别落在平行四边形的4条边上的正方形也可以利用旋转来处理．这个问题可以利用90°旋转来解．





　　在图2中的平行四边形PQRS内有一个正方形ABCD，图3显示出PQRS对其中心旋转90°后的情形．这时正方形的4个顶点可由下列直线的交集清楚地定义出来：

　　A＝PQ∩S＇P＇，B＝QR∩P＇Q＇

　　C＝RS∩Q＇R＇，D＝SP∩R＇S＇

　　使用描图纸来辅助P＇Q＇R＇S＇的绘图，可直接作出正方形ABCD的图形．

　　图4显示出正方形的两个顶点落在平行四边形之外的情形，这个问题是要你找出顶点落在两对相交的平行线上的正方形．




　

　　35．盒子游戏

　　许多孩子都很喜欢玩这个游戏，教师们不妨把它作为指派给学生的第一份研究作业．“假设…，会怎么样？”这类问题对孩子而言应不至于太困难，他们可以借此课题做一些简单的分析练习．

基础知识

动手学数学讨论　26．一招三式

　　考虑第一个游戏．由1至9，总数为15的3个数的组合共有8种，也许你已经想到它与标准的3×3幻方的关系(图1)．

　　事实上，幻方中行、列与对角线的各组数字不但是所有可能的致胜组合，同时也显示出与圈叉(井字)游戏的关联(图2)．




　

　　每一种致胜的组合都可对应于圈又游戏中致胜的线，所以运用此种策略将使你在数字游戏中掌握更多的机会．玩圈叉游戏时，先玩的人通常会把记号画在中央的方格内，因为这个位置所控制的直线比其他任何位置都要多．


　　同样地，玩数字游戏时，先玩的人通常选5，因为致胜的机会较大．

　　利用这种与幻方的关联性，你也可以研究其他的数字组合问题．以下列出其中4种(图3～图6)，可参见《数学乐园·茅塞顿开》中的第142题．也可尝试一下负数！


　

　



　　你现在应该能从第二个游戏中看出个所以然了．


　　这些单词都是经过精挑细选的，以使其能配合3×3阵列，而在各行、列或对角线上的单词中，都包含着其他地方并不出现的共同字母．所以，单词的致胜组合同样对应至圈叉游戏中致胜的线．MEAT为关键词，且有4种赢的组合；位于角落的SARAH、BRED、EELS与BALL为次重要的词，各有3种致胜组合；其余4个词较不重要，只在2种组合中出现(见图7)．了解了这些，这个游戏就可以类似圈叉游戏的方式玩了．

　　这个游戏其实是由加拿大数学家莫瑟(Lee Moser)设计的，称为“HOT”，这是他在游戏中所用的一个词．


　

　





　　要求能力较强的一组儿童自行设计具有相同性质的9个单词，这是一个具有相当教育意义的题目．

　　不过也不一定要限于文字．一般，只需要8种足以区别的符号即可，每种符号对应于每一行、每一列，以及对角线．用如此9张卡片就可以设计出将这些符号置于方格中的形式，参见图8所示．



　

　　如果你颇具有艺术天份，那么这些符号也可以是某种图案．不过无论如何，这些游戏基本上都是一种圈叉游戏．

　　现在讨论第三种游戏．当你了解到车道的编号是从1到9，与第一个游戏相符时，这些车道编号就特别有用．考虑5号车道，将其着色，即可连接A、B、C与D4个城镇．仔细看地图，可以看出每个城镇都刚好有3条车道相交(或经过)，所以控制5号车道的人就能避免对手将这4个城镇中任何一个的3条车道着色．这就等于是在圈叉游戏中，在中央的方格内画上记号即阻挡了4条线的情形．同理，连接3个城镇的2、8、4及6号车道，相当于圈叉游戏中的4个角落，而1、3、7与9号车道只连接两个城镇，则相当于“井”字四边中间的方格．

　　圈叉游戏的“井”字与塞车游戏的地图之间的对偶性，可通过图9和图10做比较．图9相当于“井”字(每一个结点对应于各方格的中点)，因此共有8条线通过9点，而每一条线上有3点．图10则是塞车地图的拓扑图形，共有8点，位于9条线上，且每一点都有3条线通过．两个图形都做了精确的标示，以显示两者的对应关系．例如，s线上的A、D与G点即对应于通过S点的a、d与g线．

　　数学的本质就是要在看似完全不同的状况中探究潜在的结构而解析出相似的部分，因此分析这些游戏有助于培养数学的思考能力．

　　27．勾股定理再探

　　大部分的中学教师都熟知不只一种勾股定理的证明方法，但他们或许并不知道还有许多有趣又巧妙的方法与步骤．本题所介绍的方法当然不是所有的方法，但它们却都意味深长．

　　卢米斯(Elisha Scott Loomis)所著的《勾股定理证明》(ThePythagorean Proposition)一书在1927年出版，书中共提出250种证明方法，该书由英国全国教师协会于1968年再版．

　　28．马尔他十字机制

　　作者做的模型已流行多年，不难理解，模型愈大，愈容易制作．

　　在作者的模型中，圆盘D的直径大约为14cm，且机械装置被安装在硬板上．

　　在第15题中可以看到一些其他的机械装置．

　　29．旋转式泵的几何学

　　对许多小孩子而言，机械装置的研究比抽象的运动几何学更具体直观，但其实两者是互相关联的．

　　30．月历的排列

　　本题目可用来练习算术、图案识别与简单代数．

　　当总和为57时，所表示的日期为：



　　如果有5个日期在一列中，其正中央的数字为D，则这5个日期分别为

　　D－14，D－7，D， D＋7，D＋14

　　其总和为5D．所以只要把总和除以5，然后再加减7、加减14即可．

　　当总和为85时，D＝17，故对应于月历上的最后一列．

　　如果一列中的第一个数字是6，则第五个数字为6＋7＋7＋7＋7＝34，但一个月不可能有34天．

　　假设在一个含有4个日期的列中第一个数字为F，则这4个日期分别为：

　　F，F＋7，F＋14，F＋21

　　故其总和为：

T＝4F＋42

　　所以只要先将总和减去42，然后除以4，就可得到F，再将F分别加上7、14、21，即可得出其余的日期．



　

　　十字形与H形的日期形式为：



　

　　这两个图形内的日期总和分别为5C与7C，所以若已给定日期总和，很容易就能得出C，然后再推算出其他的日期．



　

　　所以此方阵对角线上数字的乘积分别为：

　　D(D＋8)=D2＋8D，(D＋7)(D＋1)＝D2＋8D＋7

　　很显然，两者之间的差为7．此种结论可通过适当的活动设计，让孩子自己去发现．

　　在3×3方阵中，对角线的数字和、中间行与中间列的数字和皆为3C，其中C为正中央的数字．此方阵并非幻方，因为其他行、列的和各不相同，它们是：

　　3C－21，3C－3，3C＋3，3C＋21
与解答（26—30）

基础知识

动手学数学讨论与解答（2121．截尾质数

　　研究过程其实非常有趣．在利用树形图寻找质数时，很快就可以发现，除了只能作为起点的2之外，不可能再有其他的偶数．同理，5只能作为起点．此外，当以2开始时，下一个数只能是3或9，因为1或7将使该数能被3整除．以2开始的完整质数树形图如下图所示，此种质数共有24个．




　

　　以下是将其余的此种质数对应至每一分枝终点的数所做的摘要：


　　31193，31379，317，37337999，373393，37397，3793，

　　3797

　　53，59393339，593993，599

　　719333，7331，73331，73939133，7393931，7393933，

　　739397，739399，797

　　这个活动与左质数(left－handed prime)有关．不过，你也可以做右质数(right－handed prime)的研究，例如12647，在由左向右截尾时仍为质数；或是做双侧质数(two－sided prime)的研究，例如317或739397．


　　22．生日巧合

　　如果不考虑生日巧合的概率，而考虑没有人生日相同的概率，会比较容易．


　　首先考虑A与B两人生日不同的概率．例如假设A的生日是在3月25日，则B的生日可能是一年中其他364天中的一天，所以A与B生日不同的概率为364/365．现在考虑第三个人C．C的生日与A、B不同，则一年中还有363天可能是C的生日，所以C与A、B生日不同的概率为363/365．

　　故A、B、C的生日都不相同的概率为：



　　将此论证继续沿用至第四人D，就得出他们生日都不同的概率为：



　　同理，在一个有30名学生的班级中，各人生日都不同的概率为：



　　耐心地使用计算器就可以算出这个值大约是0.294，所以在有30名学生的班级中，至少有两人生日相同的概率是：

　　1－0.294≈0.7

　　顺便说一句，用上述的论证方式可以证明当一个班级有23个学生时，有两人生日相同的概率要比学生数为偶数时高．


　　23．认识正八面体

　　实际做出本题中提到的模型能大大加强学习的效果，因为再怎么仔细阅读文字或看图片说明，也比不上利用模型所得到的经验来得直接．



　


　　由八面体的一个顶点出发，每边只经过一次而回到原点的路径有1488种．


　　你能找到多少种？


　　如果你将八面体的边作拓扑变换(topological transformation)形成如图1的形式，可帮助你思考所有的路径．

　　另有一种做出正八面体的方法，即按照如图2所示的由等边三角形组成的展开图，用纸或卡片制作．将所有的折线刻出印痕，然后将这两边的三角形折叠，先把A折至B．要记得八面体的每一个顶点都有4个三角形，所以这个图应该不难折．最后，将画斜线的三角形折进去，你就有了一个坚固的模型，而且可以展开恢复原状．




　

　　24．邮票册研究


　　(1)英国邮政总局1985年的设计如图1所示，包含3张13p、2张4p与3张1p的邮票．这种设计非常简单，很容易就能




　


　　找到国内邮件(13p与17p)所需的邮票，而且除了200g限时信的38p之外，其他邮费也都能找到．

　　可能的解其实有许多种，都可由邮票册中挑选出所有的邮费．图2和图3是其中的两种．第二种有一个优点，就是当平信的邮费降至12p时也可以使用；事实上，还可以寄4封邮费为12p的信件(见图3)．


　　这种问题可使同学们将算术运用到实际生活中去．


　　(2)不可能的邮费为18p．7p、9p与2p的邮票面值总和为18p，但在邮票册上彼此并没有相连．组成其邮费的方式如下：

　　1p＝1 17p＝1+7＋9


　

　

　　　


　　2p＝2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 18p

　　3p＝3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　19p＝7+9+3

　　4p＝1＋3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 20p＝7＋9＋3＋1

　　5p＝3＋2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　21p＝9＋10＋2

　　6p＝1+3＋2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 22p＝3＋9＋10

　　7p＝7 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　23p＝1+3+9+10

　　8p＝1＋7　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 24p＝3＋9＋10＋2

　　9p＝9　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　25p＝1＋3＋2＋9＋10

　　10p＝10 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　26p＝7＋9＋10

　　11p＝7＋1＋3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　27p＝1+7＋9＋10

　　12p＝3＋9　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 28p＝7＋9＋10＋2

　　13p＝9＋3＋1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　29p＝1＋7＋9＋10＋2

　　14p＝9＋3+2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　30p＝1＋3＋7＋9＋10

　　15p＝1＋3＋2＋9　　　　　　　　　　　　　　　　　 　31p＝3＋2＋7＋9＋10

　　16p＝7＋9 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　32p＝1＋3＋2＋7＋9＋10

　　本题能帮助学生熟悉数字之间的基本关系，培养空间感，学生必须做出假设并进行检验．问题是要找出N的极限值，有一种方法是找出从2×3的邮票中撕取一张邮票或一组相连的邮票到底有多少方式．从这一点又可引申出更一般化的空间问题．从m×n的邮票中撕取一张邮票或一组相连的邮票共有多少方式？

　　撕取邮票的方式共有40种，所以这也是N的上限．但由于题目的限制，使得N的最大值是36．如图4所示的两种方式是其解．检验两者是否自1p至36p都可以得到．




　


　　在研究此问题时可以考虑相加的和(如12＝4＋6＋2)，或是在撕去邮票后留下的面值(如28＝36－8，故28＝1＋2＋15＋4＋6)．




　


　　有一种着手解决这种问题的方法是从较小联的邮票开始．对2×2联的邮票而言，撕去一张邮票或一组相连邮票的方式共有13种，如图5所示的两种解答可以得到邮费为1p至13p的邮票．

　　对5张邮票的情况，撕去邮票的方式共有21种，但所得的邮费只有1p至20p．


　　25．设计直尺



　


　　5道切口得出的10种间隔为：




　


　　以此种计数方式可以很清楚地看出其通式．n次锯切可得：

　　1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)种间隔

　　

　　当5次锯切的位置如上图所示时，即ab＝1cm，bc＝3cm，cd＝3cm，de＝2cm，则ac＝4cm，ce＝5cm，bd＝6cm，ad＝7cm，be＝8cm，ae＝9cm．如果没有遗漏掉任何长度，那么这就是最佳的锯切方式．

　　如果我们并不要求得到连续的长度，那么也可能得出10种不同长度的间隔．例如，如果ab＝1，bc＝6，cd＝3，de＝2，则即可得出下列的10种间隔：

　　1，2，3，5，6，7，9，10，11，12

　　但是在试着得出有连续长度的间隔时，要看出是否具有一般性的通式并不容易．如果做n次锯切，且N为连续长度的间隔数，则以1cm起始，所得出的最佳解如下．


—25）

基础知识

动手学数学讨论与解答（2121．截尾质数

　　研究过程其实非常有趣．在利用树形图寻找质数时，很快就可以发现，除了只能作为起点的2之外，不可能再有其他的偶数．同理，5只能作为起点．此外，当以2开始时，下一个数只能是3或9，因为1或7将使该数能被3整除．以2开始的完整质数树形图如下图所示，此种质数共有24个．




　

　　以下是将其余的此种质数对应至每一分枝终点的数所做的摘要：


　　31193，31379，317，37337999，373393，37397，3793，

　　3797

　　53，59393339，593993，599

　　719333，7331，73331，73939133，7393931，7393933，

　　739397，739399，797

　　这个活动与左质数(left－handed prime)有关．不过，你也可以做右质数(right－handed prime)的研究，例如12647，在由左向右截尾时仍为质数；或是做双侧质数(two－sided prime)的研究，例如317或739397．


　　22．生日巧合

　　如果不考虑生日巧合的概率，而考虑没有人生日相同的概率，会比较容易．


　　首先考虑A与B两人生日不同的概率．例如假设A的生日是在3月25日，则B的生日可能是一年中其他364天中的一天，所以A与B生日不同的概率为364/365．现在考虑第三个人C．C的生日与A、B不同，则一年中还有363天可能是C的生日，所以C与A、B生日不同的概率为363/365．

　　故A、B、C的生日都不相同的概率为：



　　将此论证继续沿用至第四人D，就得出他们生日都不同的概率为：



　　同理，在一个有30名学生的班级中，各人生日都不同的概率为：



　　耐心地使用计算器就可以算出这个值大约是0.294，所以在有30名学生的班级中，至少有两人生日相同的概率是：

　　1－0.294≈0.7

　　顺便说一句，用上述的论证方式可以证明当一个班级有23个学生时，有两人生日相同的概率要比学生数为偶数时高．


　　23．认识正八面体

　　实际做出本题中提到的模型能大大加强学习的效果，因为再怎么仔细阅读文字或看图片说明，也比不上利用模型所得到的经验来得直接．



　


　　由八面体的一个顶点出发，每边只经过一次而回到原点的路径有1488种．


　　你能找到多少种？


　　如果你将八面体的边作拓扑变换(topological transformation)形成如图1的形式，可帮助你思考所有的路径．

　　另有一种做出正八面体的方法，即按照如图2所示的由等边三角形组成的展开图，用纸或卡片制作．将所有的折线刻出印痕，然后将这两边的三角形折叠，先把A折至B．要记得八面体的每一个顶点都有4个三角形，所以这个图应该不难折．最后，将画斜线的三角形折进去，你就有了一个坚固的模型，而且可以展开恢复原状．




　

　　24．邮票册研究


　　(1)英国邮政总局1985年的设计如图1所示，包含3张13p、2张4p与3张1p的邮票．这种设计非常简单，很容易就能




　


　　找到国内邮件(13p与17p)所需的邮票，而且除了200g限时信的38p之外，其他邮费也都能找到．

　　可能的解其实有许多种，都可由邮票册中挑选出所有的邮费．图2和图3是其中的两种．第二种有一个优点，就是当平信的邮费降至12p时也可以使用；事实上，还可以寄4封邮费为12p的信件(见图3)．


　　这种问题可使同学们将算术运用到实际生活中去．


　　(2)不可能的邮费为18p．7p、9p与2p的邮票面值总和为18p，但在邮票册上彼此并没有相连．组成其邮费的方式如下：

　　1p＝1 17p＝1+7＋9


　

　

　　　


　　2p＝2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 18p

　　3p＝3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　19p＝7+9+3

　　4p＝1＋3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 20p＝7＋9＋3＋1

　　5p＝3＋2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　21p＝9＋10＋2

　　6p＝1+3＋2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 22p＝3＋9＋10

　　7p＝7 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　23p＝1+3+9+10

　　8p＝1＋7　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 24p＝3＋9＋10＋2

　　9p＝9　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　25p＝1＋3＋2＋9＋10

　　10p＝10 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　26p＝7＋9＋10

　　11p＝7＋1＋3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　27p＝1+7＋9＋10

　　12p＝3＋9　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 28p＝7＋9＋10＋2

　　13p＝9＋3＋1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　29p＝1＋7＋9＋10＋2

　　14p＝9＋3+2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　30p＝1＋3＋7＋9＋10

　　15p＝1＋3＋2＋9　　　　　　　　　　　　　　　　　 　31p＝3＋2＋7＋9＋10

　　16p＝7＋9 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　32p＝1＋3＋2＋7＋9＋10

　　本题能帮助学生熟悉数字之间的基本关系，培养空间感，学生必须做出假设并进行检验．问题是要找出N的极限值，有一种方法是找出从2×3的邮票中撕取一张邮票或一组相连的邮票到底有多少方式．从这一点又可引申出更一般化的空间问题．从m×n的邮票中撕取一张邮票或一组相连的邮票共有多少方式？

　　撕取邮票的方式共有40种，所以这也是N的上限．但由于题目的限制，使得N的最大值是36．如图4所示的两种方式是其解．检验两者是否自1p至36p都可以得到．




　


　　在研究此问题时可以考虑相加的和(如12＝4＋6＋2)，或是在撕去邮票后留下的面值(如28＝36－8，故28＝1＋2＋15＋4＋6)．




　


　　有一种着手解决这种问题的方法是从较小联的邮票开始．对2×2联的邮票而言，撕去一张邮票或一组相连邮票的方式共有13种，如图5所示的两种解答可以得到邮费为1p至13p的邮票．

　　对5张邮票的情况，撕去邮票的方式共有21种，但所得的邮费只有1p至20p．


　　25．设计直尺



　


　　5道切口得出的10种间隔为：




　


　　以此种计数方式可以很清楚地看出其通式．n次锯切可得：

　　1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)种间隔

　　

　　当5次锯切的位置如上图所示时，即ab＝1cm，bc＝3cm，cd＝3cm，de＝2cm，则ac＝4cm，ce＝5cm，bd＝6cm，ad＝7cm，be＝8cm，ae＝9cm．如果没有遗漏掉任何长度，那么这就是最佳的锯切方式．

　　如果我们并不要求得到连续的长度，那么也可能得出10种不同长度的间隔．例如，如果ab＝1，bc＝6，cd＝3，de＝2，则即可得出下列的10种间隔：

　　1，2，3，5，6，7，9，10，11，12

　　但是在试着得出有连续长度的间隔时，要看出是否具有一般性的通式并不容易．如果做n次锯切，且N为连续长度的间隔数，则以1cm起始，所得出的最佳解如下．


—25）

基础知识

16．拼缀图案


　　这个活动是研究镶嵌与平面图案的极佳范例，包含了对称、面积、角度、转换的概念，以及设计单元的概念．通过这个活动还可以练习几何绘图，培养创造力．

　　17．趣谈减法

　　这个活动的构思来自一位老师，他说：“这使我的孩子快乐地做了好几个小时的减法．当数字愈来愈大时，验算会是一场恶梦，不过我用电脑程序来做．”

　　所以，你的下一个作业就是写一个程序！


　　由于数字差形成的方式，使得数字愈来愈小，因此序列以有限个步骤到达终点．若起始时最大数字与最小数字的位置相对，应在5个步骤之内到达终点，但若是位置不同，则能以相当小的数字形成更长的序列．要注意的是，0通常可被取为最小的数字，因为由任何起点开始，例如从(8，17，3，9)开始所形成的差，与减去最小数字之后，即以(5，14，0，6)作为起点所形成的数字差是相同的．


　　下列的解是一位中学女生得出的．





　　对此问题作代数分析相当困难，因为每一阶段的计算都是|x－y|而非(x－y)．

　　将这个活动与以三角形起始的类似活动比较是相当有趣的事，两者的结果有何差异？其他多边形的情况又是如何？

　　18．猜数字

　　上完课下课前可以玩这个游戏以利用剩余的时间，这对培养逻辑推理能力相当有帮助．推广至三位数也可以，但可能要猜许多次，而使大部分的学生失去兴趣．

　　19．追踪单词

　　所隐藏的单词为DISCOVERY．总共有784个可能的“单词”．



　

　　本题的目的是要找出计算所有可能“单词”的系统化方法．为了避免遗漏任何单词或是把某些单词算了两次，需要有一套策略与标记方法．

　　作者以如图1所示的方法将方格标上号码，然后在将号码记录成九位数之前，在纸上画出不同的路径．运用镜像对称与旋转对称的原理，就可以很清楚地看出，所有的基本路径都可以重复8次．图2所示就是本题的解125349876经旋转与反射后的路径．所以只需要找到98个基本解，而这些解又可分为3种基本类型．



　

　　(1)以1开始的路径，并在第一次离开主对角线后即在主对角线的上方移动．

　　共有69种路径，部分路径见图3，以显示其复杂的变化．



　

　　所有路径以下列九位数表示列出．



　

　　(2)以2开始的路径，并在第一次离开对称垂直线后移动至右方．共有25种路径，部分路径如图4所示．



　

　　(3)以5开始的路径，移向1或2，然后移至右方．只有4种路径，如下所示：

512349876 512349867 512678943 523498761

　　这道谜题是由谢菲尔德综合技术学院(Sheffield Polytechnic)的波蒂斯(Hugh Porteous)首先介绍给作者的，他还提供了可以计算出解答的电脑程序．

　　20．质数鸿沟

　　本题是要研究质数的分布．可使用质数表，或是利用电脑程序．下列5组数之间没有质数：1129与1151，1327与1361，1637与1657，1669与1693，1951与1973．

　　很容易就可以证明任何长度的非质数序列都可能存在．假设要证明长度为100的非质数序列存在，可考虑下列序列：

　　101！＋2，101！＋3，101！＋4，…，101！＋100，101！＋

　　因为形式为101！＋n的数，n为其因数，n＝2，3，4，…101，故在所给的100个连续数的已知序列中每个数都不是质数．很显然，此法可加以推广．

基础知识

动手学数学讨论与解答（11—15）11．曼卡拉


　　这个游戏并不需要精巧的道具．玩的人只要会计数即可，再靠些运气，但显然也可以用技巧与预见能力玩得更好．

　　12．捡石子


　　有许多关键局面需要避免．例如，若A留下的是(3，5)，则不论对手B如何捡，A一定会获胜．B有8种选择，但结果都是一败涂地．




　


　　类似的必胜局面有(4，7)、(6，10)、(8，13)、(9，15)．试分析这些局面，并看看能否找到其他的必胜局面．


　　13．相交的直线

　　这是很值得研究的问题，还可以从中得到空间的观念．


　　n条直线最多可能有n(n－1)/2个交点(每一条直线都可能与其他n－1条直线相交，交点会重复计算两次)．所有的平行线没有交点；所有的直线都通过一点是可能的．除此而外，较小的交点数目都是不可能的．n条直线中可能有n－1条平行线，而另一条直线与之相交得出n－1个交点；且由n－1至n(n－1)/2，所有的解都是可能的．5条直线的其他解如图1～图5所示．


　

　

　

　

　

　　



　　最后一个问题的解答是5条平行线与4条平行线相交，得出20个交点，第十条直线则通过其中一个交点，再与其他7条直线相交(图6)．另一种干脆利落的解是两组5条直线束相交(图7)．


　　14．拼出长方形



　


　　5×4长方形和6×5长方形的拼法如上页图所示．

　　由五连形拼出的正方形应有(5n)2个单位正方形，而最小的可能就是5×5，但这显然是不可能的．

　　下一个想到的便是10×10，虽然很容易拼出，但不是用瑞雪仅有的那6片五连形．


　　15．机械装置

　　此题在观察、分析、制作模型等方面可供发挥的余地还很大．虽然大部分的模型都可以用卡片纸与图钉制作，但更精巧的装置最好是能使用积木组装．只要你注意观察，就可以发现机械装置无所不在，而且很值得好好研究．

基础知识

动手学数学讨论与解答（6—106．60°角折叠法

　　要了解LD为何与DC的夹角是60°，请参看图1．假设BC＝AD＝A＇D，且均为2单位长，则A＇E＝MC为1单位长．因此在△A＇DE中，

　　


　　得 θ＝30°

　　故 ∠ADA＇=60°


　　由于是折叠的角，故


　　∠ADL＝∠A＇DL

　　因此必都等于30°．故

　　∠LDC＝60°

　　由正方形折成正六边形的方法如图2～图5所示．

　　首先将纸折出平行于AB的4等分，参见图2．然后再由BC与AD边的中点M与N，将∠A、∠B、∠C、∠D向内折，形成60°角，如图3与图4所示．在此阶段所得到的六边形已有正确的120°角，但各边并不等长．可将正方形折出平行于BC的4等分，而水平折线与斜线相交处即是所求顶点的位置，如图5．




　

　　7．巨石数学

　　在此所讨论的形状本身即具有相当的趣味性，即使与古代石柱遗迹无关，也很值得作图探讨．

　　虽然这里也牵涉到椭圆形，但因在《数学乐园·茅塞顿开》与《数学乐园·老谋深算》两书中已对椭圆形做过详细的讨论，故此处略去不提．

　　8．位数问题


　　两式的和相等．要不做加法就得到答案，你只需注意到各式对应于10n那一列，不是有(n＋1)个(9－n)的数字，就是有(9－n)个(n＋1)的数字．

　　例如在对应于102的那一列，一个式子是有3个7，另一个式子则是有7个3，结果互相对应的列皆具有相同的和．


　　9．数字的形式

　　要了解为何会有这种形式，要先知道


　　1234=1111+111＋11+1


　　则


　　(1234×8)+4

　　=(1111×8)＋(111×8)＋(11×8)＋(1×8)＋4

　　＝8888＋888＋88＋8＋4

　　=(10000－1111)＋(1000－111)＋(10－11)＋(10－1)

　　＝11110－1111－111－11－1

　　＝9999－(111＋11＋1)

　　＝9999－123

　　＝9876


　　10．L形游戏


　　波罗为训练思维技巧而设计了这个游戏，在他所著的《五日思维课程》(The Five－Day Course in Thinking)中有详细的讨论．这个游戏对儿童理解空间和运动的概念，培养解决问题的能力和探索致胜策略，都是极佳的训练．
）

基础知识

动手学数学讨论与解答（1—5）　1．三维圈叉游戏

　　这是一个培养儿童形成空间概念的极佳游戏．也可以在纸上画出4×4的方格以代表4层棋盘，而用筹码来玩，但除非是最聪明的儿童，否则这样玩是非常困难的．

　　角落中的棋子可控制7条直线．

　　位于边缘的棋子可控制4条直线．

　　位于上层或下层中央4个洞内的任何一个棋子可控制4条直线．

　　位于中间两层中央4个洞内的任何一个棋子可控制7条直线．

　　4个棋子共有76条可能连成的直线．在每一层，与边平行的直线有8条，再加上2条对角线，所以每一层水平的直线就有10条，4层总共就有40条．还有16条垂直线，4条长对角线，以及在8个垂直面中，每个面上的2条对角线．

　　能挡住所有线的最少棋子数应该是19．

　　在任何一层，所有的水平线都可以用如图1所示的两种方式之一加以阻挡．在第一种方式中棋子的排列呈对称形，看起来很好用，其实功效不大．第二种方式只要能恰当地加以运用，则在每一层除了3条长对角线之外，可以挡住所有线；然后再加3个棋子以阻挡长对角线，即得出19的总数(图2)．但这种解答缺乏经常在此种问题中可以找到的对称性，所以希望读者能够找到更令人满意的答案，甚至找到使用更少棋子的解答．


　

　



　　2．可拼出哪些长方形


　　无法拼出更小的正方形．显然不可能拼出2×2的正方形，面积为9平方单位的3×3正方形也不可能由面积为4平方单位的形状组合而成．

　　下面的图中组合出5×4、6×4、7×4、8×4与9×4的长方形．从前3个图可以看出如何从一个解推演出另一个解，而从8×4的长方形中则可以看出要利用到180°旋转对称．这些解都不是唯一解．例如，将5×4的解放在4×4的解的旁边，就可以得到另一种9×4的解．当n≥4时，所有n×4的长方形都是可能拼出来的，我们很容易就可看出，这可以将上述已知的解组合在一起而得到．由于产品形状的面积为4平方单位，故只需要考虑面积为4n平方单位的形状，这就排除了拼出5×3与6×5的长方形，以及面积为210平方单位长方形的可能性．




　

　　3．八边形练习

　　从折纸法中可以看出正八边形所具有的对称性．在折起的纸上剪出图案，再将纸展开，并仔细观察图案的形式，更容易看出正八边形的对称性．


　　正八边形有8条对称线，4条经过相对的顶点，4条经过对边的中点．

　　分割谜题的解答如图所示．作第二个图形时所用的65°角是个很实用的近似值，读者可以求出精确的角度．


　

　



　　4．分割问题


　　图1说明如何将正方形的镶嵌图案置于十字形的镶嵌图案之上，从而得到希腊十字形的第二种分割方法．


　

　





　　将正方形置于H形之上，从而找出适当的分割方式，如图2所示．

　　另一种十字形则可以很整齐地组合成镶嵌图案，而且只要连接这些十字形的中心，就可以得到正方形的镶嵌图案，而这个图案将十字形巧妙地分割成4个相等的部分，参见图3．



　

　　由于T字形缺乏对称性，因此这是个较棘手的问题，但从图4所示的镶嵌图案中可导出不同的分割方式，图4即包含其中两种．

　　这种镶嵌图案的技巧并不仅限于直线的图形中，如图5．图中的瓮状镶嵌图案，同样可以用一组正方形图案来说明，用两条直线就能将瓮分割成可以重组为一个正方形的4个部分(请参见《数学乐园·茅塞顿开》第86题)．

　　所有的12种五连形(《数学乐园·茅塞顿刑第76题)都可以作镶嵌图案，练习将形状分割再组合成正方形，这是个很好的开始．不过还是可以看看你还能发现什么，因为有无限多种可能．





　　图6说明了如何将H形分成4个完全一样的部分，而且能重新组成两个H．

　　只用一条直线就将长方形分成可重组为一正方形的两个部分，则此长方形的长必为其宽的4倍，如图7所示．



　

　　其他长方形则可以用阶梯式的分割方法分成两个可重组为正方形的部分，如图8所示16×9的长方形．这种方法对于其他哪些长方形也适用呢？


　　罗以德分割问题的解如图9所示．



　

　　5．平行四边形的面积

　　老师可利用一节课的时间让学生制作这组模型，这会给学生留下极深的印象，教学效果远胜于用形式化的证明来导出结果．老师可以用较大的模型做示范，不过一定要让学生亲自动手做．


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.游客　09-04-22 05:48:08

如何把一个正方形分成9个小正方形（
.游客　09-04-01 10:15:04

　

　　5．平行四边形的面积

　　老师可利用一节课的时间让学生制作这组模型，这会给学生留下极深的印象，教学效果远胜于用形式化的证明来导出结果．老师可以用较大的模型做示范，不过一定要让学生亲自动手做．